Die fünf platonischen Körper und die Eulersche Polyederformel

© Spektrum der Wissenschaft / Manon Bischoff (Ausschnitt)

Entferne die Stacheln

Tatsächlich bleibt am Ende immer genau ein Dreieck übrig. Sie können die drei genannten Transformationen für jeden Polyeder ohne Loch durchführen, Sie erhalten immer ein Dreieck. Da alle Transformationen der Graphen die Polyederformel von Euler unverändert lassen, ist das Ergebnis für jeden anderen Graphen, der ebenfalls aus einem Polyeder stammt, dasselbe. Da ein Dreieck aus 3 Ecken, 3 Seiten und 1 Fläche besteht, ist das Ergebnis: 3 − 3 + 1 = 1. Da der Graph immer eine Eigenschaft weniger hat als der ursprüngliche Polyeder, gilt für Polyeder: V − E + F = 2, wie bereits von Euler beobachtet.

Das mag nicht besonders spektakulär klingen, aber die Formel ist äußerst hilfreich. Zum Beispiel kann es verwendet werden, um unsere ursprüngliche Absicht zu beweisen: dass es nur fünf platonische Körper gibt! Diese symmetrischen Strukturen bestehen aus gleichen Polygonen (n-Winkel), jeder Winkel genau m Kanten werden gekreuzt. Um herauszufinden, welche Polyeder diese Eigenschaften erfüllen können, suchen wir nach allen möglichen natürlichen Zahlen n und mdie die Eulersche Polyederformel erfüllen.

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Dazu müssen Sie zunächst die Anzahl der Flächen und Winkel eines Polyeders mit Zahlen multiplizieren n und m ausdrücken Wenn jeder m Kanten schneiden einen Scheitelpunkt und jede Kante wird durch zwei Scheitelpunkte begrenzt, dann gilt: mv = 2E. Gleichzeitig bildet eine Kante immer eine Grenze für zwei Flächen. Denn jede Oberfläche weg n Kanten, folgt daraus: n F = 2E. Setzen wir diese Ergebnisse in die Eulersche Polyederformel ein, erhalten wir: 2EmE + 2En = 2. Dieser Ausdruck lässt sich vereinfachen, indem man die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt, summiert und den Kehrwert bildet: 2nMindest+2m2Mindest = 1E. Etwas mehr Umordnung ergibt dann den Ausdruck: 1m + 1n = 1E + ½. Seit dem Summanden 1E macht den Wert auf der rechten Seite nur größer (ist immer positiv), können wir stattdessen die folgende Ungleichung für verwenden n und m Rücksichtnahme: 1m + 1n > ½.

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Um also einen platonischen Körper zu erzeugen, werden die hinzugefügten Kehrwerte von n und m größer als 1/2 sein. Dort n und m sind natürliche Zahlen und müssen größer als drei sein (sonst ist kein Polyeder möglich), also bleiben nur fünf Möglichkeiten: (3,3), (3,4), (4,3), (3,5) und (5) , 3). Daraus resultieren die bekannten platonischen Polyeder – sie existieren nicht mehr, weil z 13 + 16 < ½.

Triangulation einer Brezel

Damit haben wir dank der Eulerschen Polyederformel den schlüssigen Beweis dafür gefunden, dass es genau fünf platonische Körper gibt. Aber die Formel hilft nicht nur beim Studium von Polyedern. Tatsächlich verbirgt sich hinter der Gleichung ein viel allgemeineres Konzept, das auf alle Arten von Figuren – und räumlichen Dimensionen – angewendet werden kann. Sie können beispielsweise eine Fläche mit einem Netz aus Dreiecken erweitern und dann die Polyederformel berechnen: V − E + F. Das Ergebnis ist immer gleich, egal ob das Mesh aus 6 oder 600 Dreiecken besteht. Für eine Kugel, wie für Polyeder, ist das Ergebnis 2. Aber für andere Oberflächen, wie einen Bagel, ist das Ergebnis 0. Wie sich herausstellt, ist es so V − E + F = χ topologische Invariante, also eine Kennzahl, die verschiedene Objekte topologisch voneinander unterscheidet. Wenn also χ für zwei Figuren verschieden ist, sind sie auch topologisch verschieden. Für gewöhnliche zweidimensionale Flächen gilt V − E + F = 2 – 2Lwomit L ist die Anzahl der Löcher in der Oberfläche. Also für eine Lücke (3 Löcher) χ = −4.

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Und damit ist die von Euler vorgeschlagene Formel zu einem unverzichtbaren mathematischen Werkzeug geworden: Mit ihrer Hilfe kommen Topologen ihrem Ziel, geeignete Größen zur Kategorisierung verschiedener Entitäten zu finden, einen Schritt näher.

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